利用Python实现最小二乘法与梯度下降算法

%matplotlib inlineimport sympyimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sympy.abc import x as a,y as b生成模拟数据

# 模拟函数 y=3x-1#自变量x=np.linspace(-5,5,num=1000)#加入噪声noise=np.random.rand(len(x))*2-1#因变量y=3*x-1+noise查看所生成数据的图像

plt.figure(figsize=(10,10))plt.scatter(x,y,s=1)

y=ax+b #目标函数e=1/2*Σ([axi+b]-yi)^2 #代价函数，求使得代价函数为最小值时，对应的a和b对a求偏导->Σ(axi+b-yi)*xi对b求偏导->Σ(axi+b-yi)1. 通过最小二乘法求a，b

我们知道当在a,b处的偏导为0时，代价函数e达到最小值，所以得到二元一次方程组

Σ(axi+b-yi)*xi=0Σ(axi+b-yi)=0

该方程组是关于未知数为a,b的二元一次方程组，通过求解该方程，得到a，b

result=sympy.solve([ np.sum((a*x+b-y)*x), np.sum(a*x+b-y)],[a,b])print(result)#{x: 3.01182977621975, y: -1.00272253325765}

通过sympy库解方程组，得出了a= 3.01182977621975，b= -1.00272253325765，已经与我们真实的a，b很接近了，下面进行作图

plt.figure(figsize=(10,10))plt.scatter(x,y,s=1)plt.plot(x,result[a]*x+result[b],c=’red’)print(type(a),type(b))#<class ’sympy.core.symbol.Symbol’> <class ’sympy.core.symbol.Symbol’>

我们注意到最小二乘法最后一步要求p个方程组，是非常大的计算量，其实计算起来很难，因此我们就有了一种新的计算方法，就是梯度下降法，梯度下降法可以看作是 更简单的一种 求最小二乘法最后一步解方程 的方法

# 注意这里覆盖了sympy.abc的a和b# 设定a和b的起始点a,b=0.1,0.1#步长，也称作学习率alpha=0.00001#循环一千次结束for i in range(1000): a-=alpha*np.sum((a*x+b-y)*x) b-=alpha*np.sum(a*x+b-y)print(a,b)#3.0118297762197526 -1.002674927350334

通过梯度下降法，得出了a= 3.0118297762197526，b= -1.002674927350334，也是很接近真实的a，b值了，作图看看

plt.figure(figsize=(10,10))plt.scatter(x,y,s=1)plt.plot(x,a*x+b,c=’black’)print(type(a),type(b))#<class ’numpy.float64’> <class ’numpy.float64’>

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