Python求凸包及多边形面积教程

一般有两种算法来计算平面上给定n个点的凸包：Graham扫描法(Graham’s scan)，时间复杂度为O(nlgn)；Jarvis步进法(Jarvis march)，时间复杂度为O(nh)，其中h为凸包顶点的个数。这两种算法都按逆时针方向输出凸包顶点。

Graham扫描法

用一个栈来解决凸包问题，点集Q中每个点都会进栈一次，不符合条件的点会被弹出，算法终止时，栈中的点就是凸包的顶点(逆时针顺序在边界上)。

算法步骤如下图：

import sysimport mathimport timeimport random#获取基准点的下标,基准点是p[k]def get_leftbottompoint(p): k = 0 for i in range(1, len(p)): if p[i][1] < p[k][1] or (p[i][1] == p[k][1] and p[i][0] < p[k][0]): k = i return k#叉乘计算方法def multiply(p1, p2, p0): return (p1[0] - p0[0]) * (p2[1] - p0[1]) - (p2[0] - p0[0]) * (p1[1] - p0[1])#获取极角，通过求反正切得出，考虑pi/2的情况def get_arc(p1, p0): # 兼容sort_points_tan的考虑 if (p1[0] - p0[0]) == 0: if ((p1[1] - p0[1])) == 0: return -1; else: return math.pi / 2 tan = float((p1[1] - p0[1])) / float((p1[0] - p0[0])) arc = math.atan(tan) if arc >= 0: return arc else: return math.pi + arc#对极角进行排序,排序结果list不包含基准点def sort_points_tan(p, pk): p2 = [] for i in range(0, len(p)): p2.append({'index': i, 'arc': get_arc(p[i], pk)}) #print(’排序前:’,p2) p2.sort(key=lambda k: (k.get(’arc’))) #print(’排序后:’,p2) p_out = [] for i in range(0, len(p2)): p_out.append(p[p2[i]['index']]) return p_outdef convex_hull(p): p=list(set(p)) #print(’全部点:’,p) k = get_leftbottompoint(p) pk = p[k] p.remove(p[k]) #print(’排序前去除基准点的所有点:’,p,’基准点:’,pk) p_sort = sort_points_tan(p, pk) #按与基准点连线和x轴正向的夹角排序后的点坐标 #print(’其余点与基准点夹角排序:’,p_sort) p_result = [pk,p_sort[0]] top = 2 for i in range(1, len(p_sort)): ##################################### #叉乘为正,向前递归删点;叉乘为负,序列追加新点 while(multiply(p_result[-2], p_sort[i],p_result[-1]) > 0): p_result.pop() p_result.append(p_sort[i]) return p_result#测试

if __name__ == ’__main__’: pass test_data = [(220, -100), (0,0), (-40, -170), (240, 50), (-160, 150), (-210, -150)] print(test_data) result = convex_hull(test_data) print(result) t=0import matplotlib.pyplot as pltx1=[]y1=[]for i in range(len(test_data)): ri=test_data[i] #print(ri) x1.append(ri[0]) y1.append(ri[1])plt.plot(x1,y1,linestyle=’ ’,marker=’.’)xx=[]yy=[]for i in range(len(result)): ri=result[i] #print(ri) xx.append(ri[0]) yy.append(ri[1])plt.plot(xx,yy,linestyle=’ ’,marker=’*’)

计算多边形面积

（1）顺时针给定构成凸包的n个点坐标，叉乘法求多边形面积：

def GetAreaOfPolyGonbyVector(points): # 基于向量叉乘计算多边形面积 area = 0 if(len(points)<3): raise Exception('error') for i in range(0,len(points)-1): p1 = points[i] p2 = points[i + 1] triArea = (p1[0]*p2[1] - p2[0]*p1[1])/2 #print(triArea) area += triArea fn=(points[-1][0]*points[0][1]-points[0][0]*points[-1][1])/2 #print(fn) return abs(area+fn)points = []x = [1,3,2]y = [1,2,2] #[(1,1),(3,1),(5,3),(3,5),(1,3)] # x=[1,3,5,3,1]# y=[1,1,3,5,3]for index in range(len(x)): points.append((x[index],y[index]))area = GetAreaOfPolyGonbyVector(points)print(area)#print(math.ceil(area))

（2）顺时针给定构成凸包的n个点经纬度坐标，先将经纬度坐标转化成凸多边形的边的经纬度距离，利用海伦公式求多边形面积：

from geopy.distance import vincentyimport mathdef HeronGetAreaOfPolyGonbyVector(points): # 基于海伦公式计算多边形面积 area = 0 if(len(points)<3): raise Exception('error') pb=((points[-1][0]+points[0][0])/2,(points[-1][1]+points[0][1])/2) #基准点选为第一个点和最后一个点连线边上的中点 for i in range(0,len(points)-1): p1 = points[i] p2 = points[i + 1] db1 = vincenty(pb,p1).meters #根据维度转化成经纬度距离 d12 = vincenty(p1,p2).meters d2b = vincenty(p2,pb).meters #print(db1,d12,d2b) hc = (db1+d12+d2b)/2 #db1是基准点和p1的距离，d12是p1和p2的距离，d2b是p2和基准点距离 #print(hc, hc-db1, hc-d12, hc-d2b) triArea = math.sqrt(hc*(hc-db1)*(hc-d12)*(hc-d2b)) #print(triArea) area += triArea return areapoints = []x = [1,3,2]y = [1,2,2] #[(1,1),(3,1),(5,3),(3,5),(1,3)] # x=[1,3,5,3,1]# y=[1,1,3,5,3]for index in range(len(x)): points.append((x[index],y[index]))area = HeronGetAreaOfPolyGonbyVector(points)print(area)#print(math.ceil(area))

Graham程序原理

（1）基准点的确认原则：

有唯一的某个点纵坐标最小，该点为基准点；

不止一个点的纵坐标最小，选这些点里最靠左的为基准点

（2）计算叉乘【后续利用叉乘正负判断夹角是否大于180o】：

（3）获取极角，通过求反正切得出：

若横纵坐标都相等(两点相同)，返回-1；

若横坐标相等/纵坐标不相等(两点连线垂直y轴)，返回

（4）对极角进行排序，排序结果list不包含基准点：

p2=[{'index':0, 'arc':get_arc(p[0],p[k])}， {'index':1, 'arc':get_arc(p[1],p[k])}， ··· {'index':k-1, 'arc':get_arc(p[k-1],p[k])}， {'index':k+1, 'arc':get_arc(p[k+1],p[k])}， ··· {'index':n, 'arc':get_arc(p[n],p[k])}]#get_arc(p[0],p[k])即获得p[0]点与基准点p[k]连线的极角(与x轴正向夹角)#根据p2的“arc”键的值从小到大排序，最后输出按该角度值排序对应顺序的各个点

（5）逆时针确定凸多边形：

主要是找角度是否大于180o——差乘正负——点进出栈顺序三者关系

...一直遍历到最后一个点...一直遍历到最后一个点

规律：叉乘>0，夹角小于180o，递归向前删点；叉乘<0，夹角大于180o，不删点，加入新点，向后遍历叉乘>0，夹角小于180o，递归向前删点；叉乘<0，夹角大于180o，不删点，加入新点，向后遍历

注意：（a）上述给非基准点按极角从到大小排号时，有两个及以上点“和基准点连线构成的极角”相等时，这些点的排号挨着但是没有固定顺序，这点并不影响算法给出凸包的准确性。（b）对排号最后的一个点，扫描算法里没有任何删除该点的机制，但是这点也不影响算法给出凸包的准确性。（c）上述程序需要额外加入，判断结束栈内点数小于3和筛选凸包前点数小于3，不能计算多边形面积的情况，可以直接给这种情况赋值0返回。

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