python使用梯度下降和牛顿法寻找Rosenbrock函数最小值实例

Rosenbrock函数的定义如下：

其函数图像如下：

我分别使用梯度下降法和牛顿法做了寻找Rosenbrock函数的实验。

梯度下降

梯度下降的更新公式：

图中蓝色的点为起点，橙色的曲线（实际上是折线）是寻找最小值点的轨迹，终点（最小值点）为 (1,1)(1,1)。

梯度下降用了约5000次才找到最小值点。

我选择的迭代步长 α=0.002α=0.002，αα 没有办法取的太大，当为0.003时就会发生振荡：

牛顿法

牛顿法的更新公式：

Hessian矩阵中的每一个二阶偏导我是用手算算出来的。

牛顿法只迭代了约5次就找到了函数的最小值点。

下面贴出两个实验的代码。

梯度下降：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib import tickerdef f(x, y): return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2def H(x, y): return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x], [-400 * x, 200]])def grad(x, y): return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)], [200 * (y - x * x)]])def delta_grad(x, y): g = grad(x, y) alpha = 0.002 delta = alpha * g return delta# ----- 绘制等高线 -----# 数据数目n = 256# 定义x, yx = np.linspace(-1, 1.1, n)y = np.linspace(-0.1, 1.1, n)# 生成网格数据X, Y = np.meshgrid(x, y)plt.figure()# 填充等高线的颜色, 8是等高线分为几部分plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot)# 绘制等高线C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors=’black’, linewidth=0.01)# 绘制等高线数据plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)# ---------------------x = np.matrix([[-0.2], [0.4]])tol = 0.00001xv = [x[0, 0]]yv = [x[1, 0]]plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker=’o’)for t in range(6000): delta = delta_grad(x[0, 0], x[1, 0]) if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol: break x = x - delta xv.append(x[0, 0]) yv.append(x[1, 0])plt.plot(xv, yv, label=’track’)# plt.plot(xv, yv, label=’track’, marker=’o’)plt.xlabel(’x’)plt.ylabel(’y’)plt.title(’Gradient for Rosenbrock Function’)plt.legend()plt.show()

牛顿法：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib import tickerdef f(x, y): return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2def H(x, y): return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x], [-400 * x, 200]])def grad(x, y): return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)], [200 * (y - x * x)]])def delta_newton(x, y): alpha = 1.0 delta = alpha * H(x, y).I * grad(x, y) return delta# ----- 绘制等高线 -----# 数据数目n = 256# 定义x, yx = np.linspace(-1, 1.1, n)y = np.linspace(-1, 1.1, n)# 生成网格数据X, Y = np.meshgrid(x, y)plt.figure()# 填充等高线的颜色, 8是等高线分为几部分plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot)# 绘制等高线C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors=’black’, linewidth=0.01)# 绘制等高线数据plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)# ---------------------x = np.matrix([[-0.3], [0.4]])tol = 0.00001xv = [x[0, 0]]yv = [x[1, 0]]plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker=’o’)for t in range(100): delta = delta_newton(x[0, 0], x[1, 0]) if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol: break x = x - delta xv.append(x[0, 0]) yv.append(x[1, 0])plt.plot(xv, yv, label=’track’)# plt.plot(xv, yv, label=’track’, marker=’o’)plt.xlabel(’x’)plt.ylabel(’y’)plt.title(’Newton’s Method for Rosenbrock Function’)plt.legend()plt.show()

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