Python龙贝格法求积分实例

我就废话不多说了，直接上代码吧！

# 龙贝格法求积分import matha=0 # 积分下限b=1 # 积分上限eps=10**-5 # 精度T=[] # 复化梯形序列S=[] # Simpson序列C=[] # Cotes序列R=[] # Romberg序列def func(x): # 被积函数 y=math.exp(-x) return ydef Romberg(a,b,eps,func): h = b - a T.append(h * (func(a) + func(b)) / 2) ep=eps+1 m=0 while(ep>=eps): m=m+1 t=0 for i in range(2**(m-1)-1): t=t+func(a+(2*(i+1)-1)*h/2**m)*h/2**m t=t+T[-1]/2 T.append(t) if m>=1: S.append((4**m*T[-1]-T[-2])/(4**m-1)) if m>=2: C.append((4**m*S[-1]-S[-2])/(4**m-1)) if m>=3: R.append((4**m*C[-1]-C[-2])/(4**m-1)) if m>4: ep=abs(10*(R[-1]-R[-2]))Romberg(a,b,eps,func)# print(T)# print(S)# print(C)# print(R)# 计算机参考值0.6321205588print('积分结果为：{:.5f}'.format(R[-1]))

补充拓展：python实现数值分析之龙贝格求积公式

复合梯形公式的提出：

1.首先，什么是梯形公式：

梯形公式表明：f(x)在[a,b]两点之间的积分（面积），近似地可以用一个梯形的面积表示。

2.显然，这个梯形公式对于不同的f(x)而言，其代数精度不同。为了能适合更多的f(x)，我们一般使用牛顿-科特斯公式其中比较高次的公式来进行数值求积。但高次的缺陷是当次数大于8次，求积公式就会不稳定。因此，我们用于数值积分的牛顿-科特斯公式通常是一次的梯形公式、二次的辛普森公式和4此的科特斯公式。

辛普森公式：

科特斯公式：

3.牛顿-科特斯公式次数高于8次不能用，但是低次公式又精度不够。解决办法就是使用：复合梯形求积公式。复合求积公式就是在区间[a,b]上划分n格小区间。一个大区间[a,b]上用一次梯形公式精度不够，那么在n个小区间都使用梯形公式，最后将小区间的和累加起来，就可以得到整个大区间[a,b]的积分近似值。

a = x0 < x1 <x2 …<xn-1 < xn =b

令Tn为将[a,b]划分n等分的复合梯形求积公式，h =(b-a)/n为小区间的长度。h/2类似于梯形公式中的（b-a）/2

注意：这里的k+1是下标

通过研究我们发现：T2n与Tn之间存在一些递推关系。

注意：这里的k+1/2是下标。并且其中的h/2是中的h是Tn(n等分中的h = (b-a)/n))

于是乎，我们可以一次推出T1,T2,T4,T8…T2n序列

引出这些之后，才是我们的主题：龙贝格求积公式

龙贝格求积公式的实质是用T2n序列构造，S2n序列，

再用S2n序列构造C2n序列

最后用C2n序列构造R2n序列。

编程实现，理解下面的几个公式即可。

python编程代码如下：

# coding=UTF-8# Author:winyn’’’给定一个函数，如：f(x)= x^(3/2），和积分上下限a,b，用机械求积Romberg公式求积分。’’’import numpy as npdef func(x): return x**(3/2)class Romberg: def __init__(self, integ_dowlimit, integ_uplimit): ’’’ 初始化积分上限integ_uplimit和积分下限integ_dowlimit 输入一个函数，输出函数在积分上下限的积分 ’’’ self.integ_uplimit = integ_uplimit self.integ_dowlimit = integ_dowlimit def calc(self): ’’’ 计算Richardson外推算法的四个序列 ’’’ t_seq1 = np.zeros(5, ’f’) s_seq2 = np.zeros(4, ’f’) c_seq3 = np.zeros(3, ’f’) r_seq4 = np.zeros(2, ’f’) # 循环生成hm间距序列 hm = [(self.integ_uplimit - self.integ_dowlimit) / (2 ** i) for i in range(0,5)] print(hm) # 循环生成t_seq1 fa = func(self.integ_dowlimit) fb = func(self.integ_uplimit) t0 = (1 / 2) * (self.integ_uplimit - self.integ_dowlimit) * (fa+fb) t_seq1[0] = t0 for i in range(1, 5): sum = 0 # 多出来的点的累加和 for each in range(1, 2**i,2): sum =sum + hm[i]*func( self.integ_dowlimit+each * hm[i])#计算两项值 temp1 = 1 / 2 * t_seq1[i - 1] temp2 =sum temp = temp1 + temp2 # 求t_seql的1-4位 t_seq1[i] = temp print(’T序列：’+ str(list(t_seq1))) # 循环生成s_seq2 s_seq2 = [round((4 * t_seq1[i + 1] - t_seq1[i]) / 3,6) for i in range(0, 4)] print(’S序列：’ + str(list(s_seq2))) # 循环生成c_seq3 c_seq3 = [round((4 ** 2 * s_seq2[i + 1] - s_seq2[i]) / (4 ** 2 - 1),6) for i in range(0, 3)] print(’C序列：’ + str(list(c_seq3))) # 循环生成r_seq4 r_seq4 = [round((4 ** 3 * c_seq3[i + 1] - c_seq3[i]) / (4 ** 3 - 1),6) for i in range(0, 2)] print(’R序列：’ + str(list(r_seq4))) return ’end’rom = Romberg(0, 1)print(rom.calc())

以上这篇Python龙贝格法求积分实例就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持好吧啦网。